domingo, 24 de julho de 2011
Durante a semana de 11 a 15 de julho eu e mais três colegas participamos do PAPEM:
O Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio (PAPMEM) é desenvolvido pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicado (IMPA), que possui sede no Rio de Janeiro/RJ, e encontra-se entre as cinco melhores instituições de Pesquisa em Matemática do mundo. O referido programa teve início a partir de 1990, primeiramente para professores da rede pública do estado do Rio de Janeiro, e atualmente este projeto abrange várias instituições de ensino do país.
A idéia principal do programa é oferecer treinamento gratuito para professores de Matemática do Ensino Médio de diversos estados do país, nas instituições parceiras através de teleconferência.
O programa aborda assuntos relativos às três séries do Ensino Médio. Além do treinamento em matemática, percebe-se que os trabalhos realizados em grupos no período da tarde, bem como a discussão dos resultados contribuem para o envolvimento dos professores e assim, fomentam a idéia de que o professor deve sempre manter-se atualizado e capacitado.
Um dos resultados deste programa é a série de livros especialmente voltados para o professor de Ensino Médio, publicados na Coleção do Professor de Matemática da SBM(Sociedade Brasileira de Matemática), esta é com certeza, uma excelente referência disponível no Brasil para formação de professores de Ensino Médio de Matemática.
Confira o que foi trabalhado.Em janeiro tem a etapa 2012!
\Programação: http://w3.ufsm.br/papmem/
Links
Sociedade Brasileira de Matemática – http://www.sbm.org.br
Coleção Explorando o Ensino - clique aqui para acessar
Vídeos do IMPA (aulas gravadas) – http://strato.impa.br/
Aula do dia 11/07/2011:
- Exercícios sobre Proporcionalidade
- Soluções dos Exercícios sobre Proporcionalidade
- Exercícios sobre Teorema de Pitágoras
- Soluções dos Exercícios sobre Teorema de Pitágoras
Aula do dia 12/07/2011:
- Exercícios sobre problemas do 1º grau
- Soluções dos exercícios sobre Problemas do 1º grau
- Exercícios sobre Combinatória
- Soluções dos exercícios sobre Combinatória
Aula do dia 13/07/2011:
- Exercícios sobre Problemas do 2º grau
- Soluções dos exercícios sobre Problemas do 2º grau
- Exercícios sobre Áreas
- Soluções dos exercícios sobre Combinatória
Aula do dia 14/07/2011:
- Exercícios sobre Aritmética
- Soluções dos exercícios sobre Aritmética
- Exercícios sobre Estatística
- Soluções dos exercícios sobre Estatística
Aula do dia 15/07/2011:
" SÓ DESPERTA A PAIXÃO DE APRENDER QUEM TEM PAIXÃO DE ENSINAR!“
PAULO FREIRE
Matemática em sala de aula :
Desafio para o professor
Parte
da vida
Aprendida de uma forma dinâmica,desafiadora e divertida
PROFESSOR PESQUISADOR=Professor com domínio desta matemática
Nesta perspectiva ,percebe-se que :
“...Dar aulas é diferente de ensinar. Ensinar é dar condições para que o aluno construa seu próprio conhecimento. Vale salientar a concepção de que há ensino somente quando, em decorrência dele, houver aprendizagem. Note que é possível dar aula sem
conhecer, entretanto não é possível ensinar sem conhecer. (LORENZATO, 2006 p 3 )...”
TEORIAS DA
APRENDIZAGEM
CARACTERÍSTICAS
Epistemologia Genética de Piaget
CARACTERÍSTICAS
Epistemologia Genética de Piaget
Estrutura cognitiva do sujeito
Assimilação e acomodação
Níveis diferentes de desenvolvimento cognitivo.
Teoria Sócio-Cultural de Vygotsky
Desenvolvimento Cognitivo:
Limitado a um determinado potencial para cada intervalo de idade (ZPD )
A aprendizagem
Relacionamento do aluno com o professor e com outros alunos
Teoria Construtivista de Bruner
Aprendizado :
Processo ativo, baseado em seus conhecimentos prévios
Aprendiz participante ativo no processo de aquisição de conhecimento.
Aprendizagem baseada em Problemas/ Instrução ancorada
Aprendizagem :
Inicia com um problema a ser resolvido
Aprendizado baseado em tecnologia
Inteligências múltiplas
(Gardner)
Deve-se procurar identificar as inteligências mais
marcantes
em cada aprendiz
Destacando entre as teorias citadas...
•...para Piaget, o desenvolvimento mental dá-se espontaneamente a partir de suas potencialidades e da sua interação com o meio. O processo de desenvolvimento mental é lento, ocorrendo por meio de graduações sucessivas através de estágios ou períodos
Período da inteligência sensório-motora; (0 - 18/24 meses)
A partir de reflexos neurológicos básicos, o bebê começa a construir esquemas de ação para assimilar mentalmente o meio. A inteligência é prática. As noções de espaço e tempo são construídas pela ação. O contato com o meio é direto e imediato, sem representação ou pensamento. “Nada substitui a experiência”
Período da inteligência pré-operatória; (2 - 7 anos)
Também chamado de estágio da Inteligência Simbólica . Caracteriza-se, principalmente, pela interiorização de esquemas de ação construídos no estágio anterior (sensório-motor).
A criança deste estágio:
•É egocêntrica;
•É egocêntrica;
•Não aceita a idéia do acaso (é fase dos "por quês").
•Deixa se levar pela aparência sem relacionar fatos.
Período da inteligência operatório-formal ( 12 anos em diante)
As estruturas cognitivas da criança alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento e tornam-se aptas a aplicar o raciocínio lógico a todas as classes de problemas.
Aspecto a considerar...
A criança que está no estágio operatório concreto, ainda está fundamentalmente centrada no real.
O uso de materiais concretos:
Será que podemos afirmar que o material concreto ou jogos pedagógicos são realmente indispensáveis para que ocorra uma efetiva aprendizagem da matemática?
Para Maria Montessori
"Nada deve ser dado a criança,
no campo da matemática, sem primeiro apresentar-se a ela uma situação concreta que a leve a agir, a pensar, a experimentar, a descobrir,
e daí, a mergulhar na
abstração"No laboratório de informática...
...visita ao site :http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/elipse/elipse_hip%E9rbola.html
o qual apresenta diversas atividades interativas usando o software geogebra.
Atividade “Leis de Kepler”  A constatação de que o movimento dos planetas obedece a algumas Leis Físicas específicas ocasionou um grande desenvolvimento na área da Astronomia. dos planetas até que formulasse as três Leis que vamos estudar .As Leis de Kepler são essenciais para o estudo de fenômenos celestes, como eclipse, eventos de alinhamento dos planetas, movimento e período da órbita de cometas, etc. Desta forma, o estudo destas Leis de uma forma interativa é importante para facilitar o seu entendimento.Vamos então analisar as Três Leis de Kepler para o movimento dos Planetas! |
Atividades propostas
xercícios-Elipse
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação
9x2 + 25y2 = 225.
9x2 + 25y2 = 225.
SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0.
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.
Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.
Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.
5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(-Ö 6 /2, 0).
Resposta: x2 + 2y2 = 3.
Resposta: x2 + 2y2 = 3.
Mais exercícios:
Atividades propostas
xercícios-Elipse
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação
9x2 + 25y2 = 225.
9x2 + 25y2 = 225.
SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0.
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.
Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.
Resposta: e = 12/13 e df = 2c = 24.
5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(-Ö 6 /2, 0).
Resposta: x2 + 2y2 = 3.
Resposta: x2 + 2y2 = 3.
Mais exercícios:
Atividades Práticas:
Diálogo dirigido aos alunos sobre o tema proposto .Neste momento o professor deverá relatar de forma breve ,aspectos significativos sobre a evolução da ciência ,mas precisamente a astronomia,chegando às Leis kepler.
Para dar uma introdução ,aos alunos sobre o tema proposto,será exibido um vídeo :Espaço nave Terra ,que mostra,entre outros, o caminho percorrido por nosso planeta em torno do sol.
*Discussão e análise do vídeo
*Estudo da Elipse
Leitura:
Artigo revista Superinteressante;
O jardineiro, a elipse e as leis de Kepler
"Um simples fio e dois gravetos bastaram para fazer um jardim de geometria complicada
por Luiz Barco"
SUPER 080, maio 1994
Diálogo dirigido aos alunos sobre o tema proposto .Neste momento o professor deverá relatar de forma breve ,aspectos significativos sobre a evolução da ciência ,mas precisamente a astronomia,chegando às Leis kepler.
Para dar uma introdução ,aos alunos sobre o tema proposto,será exibido um vídeo :Espaço nave Terra ,que mostra,entre outros, o caminho percorrido por nosso planeta em torno do sol.
*Discussão e análise do vídeo
*Estudo da Elipse
Construção manual da elipse
Material: Separe duas tachinhas (de prender papel em quadros de cortiça) ou dois alfinetes, um pedaço de barbante, um lápis, uma régua e uma folha de papel.
Procedimento:
Trace no papel, com a régua, um segmento de reta de cerca de 20 cm. Marque o extremo desses segmentos com as letras F e F’ – os focos da elipse. Prenda no papel as duas tachinhas (ou alfinetes) nos dois extremos do segmento traçado, os pontos F e F’. Pegue um pedaço de barbante com cerca de 40 cm. Faça dois nós em suas extremidades e prenda esses dois nós às tachinhas, como mostra a figura abaixo:
Com um lápis, estique o fio, como mostra a Figura abaixo:
Agora trace com o lápis uma volta completa, mantendo o barbante esticado. A figura que você traçou é uma elipse. Como o barbante tem comprimento fixo, a soma dos comprimentos de qualquer ponto da linha que você traçou aos pontos F e F’ é constante.
Professor, peça aos alunos que identifiquem, na elipse criada, os seus elementos:
- Focos: são os pontos F1 e F2.
- Distância focal: é a distância 2c entre os focos.
- Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2.
- Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. (o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse)
- Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 ^ A1A2 no seu ponto médio).
- Vértice: são os pontos A1, A2, B1 e B2.
Leitura:
Artigo revista Superinteressante;
O jardineiro, a elipse e as leis de Kepler
"Um simples fio e dois gravetos bastaram para fazer um jardim de geometria complicada
por Luiz Barco"
No início de março, estive em Lins, interior de São Paulo, para dar a aula magna (de abertura do ano letivo) da Fundação Paulista de Tecnologia e Educação. Essa universidade, que abriga a Escola de Engenharia, onde lecionei por alguns anos, é uma das mais belas que conheci nos meus mais de trinta anos de magistério. Aproveitei então para andar pelas alamedas, visitar salas, laboratórios e centros de ensino e pesquisa. Nesse passeio, dei de cara com o jardineiro que, emocionado, me abraçou e perguntou se eu ainda gostava de plantas. Respondi que sim e ele prometeu me dar algumas mudas.
Escola boa é isso. Até o jardineiro é diferente e a diferença está em que ele ama seu trabalho. Essa é a química, a mágica que fabrica o sucesso. Esse encontro lembrou-me de seu antecessor, que durante algum tempo cuidou daqueles jardins. Certa vez, ele encontrou uma folha amarrotada no meio do gramado e desenrolando-a viu o desenho de uma elipse. Sem pestanejar resolveu usar aquela figura como modelo para um jardim. Quando ele me contou isso não resisti à tentação e quis saber como ele havia desenhado a elipse. O jardineiro não se fez de rogado: apanhou dois pequenos gravetos e os fincou no solo a uma certa distância.
A seguir me explicou que bastava amarrar um barbante um pouco maior que a distância entre as duas estacas, com uma ponta em cada uma . Depois, era só apanhar uma terceira estaca e esticar o barbante para desenhar o contorno, a curva que chamamos elipse .
Repare na figura 3 que as distâncias F1P e F2P, somadas, resultam no comprimento livre do barbante e isso vale para todos os pontos da curva (elipse). Assim, dados dois pontos fixos (chamados focos), denomina-se elipse o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos focos é constante. Tente construir sua elipse com dois alfinetes ou pequenos pregos, um pedaço de linha, uma folha de papel, uma pequena prancheta de madeira e um lápis.
Nossos antepassados levaram mais de 2 000 anos para se convencerem de que a Terra gira em torno do Sol e que a órbita descrita por ela não é circular e sim elíptica. Quem "plantou" essa idéia foi o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Ele descobriu, em 1605, que a órbita de Marte era elíptica e em 1609 publicou em seu livro Astronomia nova duas leis básicas sobre questões que tinham mobilizado os cientistas durante séculos. A primeira trata da forma das órbitas:
Escola boa é isso. Até o jardineiro é diferente e a diferença está em que ele ama seu trabalho. Essa é a química, a mágica que fabrica o sucesso. Esse encontro lembrou-me de seu antecessor, que durante algum tempo cuidou daqueles jardins. Certa vez, ele encontrou uma folha amarrotada no meio do gramado e desenrolando-a viu o desenho de uma elipse. Sem pestanejar resolveu usar aquela figura como modelo para um jardim. Quando ele me contou isso não resisti à tentação e quis saber como ele havia desenhado a elipse. O jardineiro não se fez de rogado: apanhou dois pequenos gravetos e os fincou no solo a uma certa distância.
A seguir me explicou que bastava amarrar um barbante um pouco maior que a distância entre as duas estacas, com uma ponta em cada uma . Depois, era só apanhar uma terceira estaca e esticar o barbante para desenhar o contorno, a curva que chamamos elipse .
Repare na figura 3 que as distâncias F1P e F2P, somadas, resultam no comprimento livre do barbante e isso vale para todos os pontos da curva (elipse). Assim, dados dois pontos fixos (chamados focos), denomina-se elipse o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos focos é constante. Tente construir sua elipse com dois alfinetes ou pequenos pregos, um pedaço de linha, uma folha de papel, uma pequena prancheta de madeira e um lápis.
Nossos antepassados levaram mais de 2 000 anos para se convencerem de que a Terra gira em torno do Sol e que a órbita descrita por ela não é circular e sim elíptica. Quem "plantou" essa idéia foi o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Ele descobriu, em 1605, que a órbita de Marte era elíptica e em 1609 publicou em seu livro Astronomia nova duas leis básicas sobre questões que tinham mobilizado os cientistas durante séculos. A primeira trata da forma das órbitas:
I - As órbitas planetárias são elipses nas quais o Sol ocupa um dos focos.
A segunda lei de Kepler determina as velocidades ao longo da trajetória: o planeta acelera quando se aproxima do Sol e desacelera quando se afasta.
A segunda lei de Kepler determina as velocidades ao longo da trajetória: o planeta acelera quando se aproxima do Sol e desacelera quando se afasta.
II - O segmento imaginário SP que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais em tempos iguais
Se o tempo que o planeta leva para percorrer o arco P1P é o mesmo que leva para percorrer P3P4 então as áreas são iguais. Ou seja, as áreas percorridas pelo raio vetor que une o centro do Sol ao centro do planeta são proporcionais ao tempo gasto para percorrê-los.
Em 1618, no livro Harmonice mundi, Kepler anunciava a terceira de suas leis, que relaciona as velocidades às dimensões da órbita independentemente das características físicas do planeta (quanto mais distantes estiverem do Sol mais lentamente eles giram).
Se o tempo que o planeta leva para percorrer o arco P1P é o mesmo que leva para percorrer P3P4 então as áreas são iguais. Ou seja, as áreas percorridas pelo raio vetor que une o centro do Sol ao centro do planeta são proporcionais ao tempo gasto para percorrê-los.
Em 1618, no livro Harmonice mundi, Kepler anunciava a terceira de suas leis, que relaciona as velocidades às dimensões da órbita independentemente das características físicas do planeta (quanto mais distantes estiverem do Sol mais lentamente eles giram).
III - Os quadrados dos tempos gastos nas revoluções dos planetas são proporcionais aos cubos das medidas dos eixos maiores de suas órbitas. Não exagera quem considera a obra de Kepler a maior descoberta científica de todos os tempos, pois ela tornou possível o desenvolvimento das teorias do físico inglês Isaac Newton (1643-1727) e ofereceu respostas a perguntas feitas por cientistas como o matemático de Alexandria Cláudio Ptolomeu e o astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543). Kepler foi uma espécie de jardineiro de seu tempo, que plantou o Sol e fez florescer uma nova visão da ciência.
SUPER 080, maio 1994
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